La modélisation ou l’algèbre?


Lorsqu’à l’école, les élèves sont initiés à l’algèbre, de nombreuses difficultés surgissent. Pour plusieurs, il est inconcevable de mélanger des lettres avec des nombres. Les règles de manipulations algébriques leur semblent obscures et complexes. Les élèves recherchent des procédures, résolvent les problèmes en appliquant des recettes, étape par étape et n’y comprennent souvent pas grand-chose.

C’est là qu’on commence à entendre des remarques telles:

À quoi ça sert les mathématiques? ou encore À quoi ça va me servir dans la vie?

Avec le nouveau programme de mathématique, l’algèbre prend sa place d’outil permettant de résoudre des modèles mathématiques. Les modèles servent à représenter des relations entre des quantités permettant ensuite d’expliquer un comportement ou prendre la bonne décision. En partant de la situation réelle, donc du modèle, on donne un sens à la manipulation algébrique permettant de faire varier les paramètres. De plus, les calculs de résolution algébrique peuvent être faits par un ordinateur.

L’approche par la représentation de modèle pour expliquer un phénomène (mouvement, météo, prédiction, etc.) rend beaucoup plus concrète  l’utilisation d’équations algébriques et explique son utilité.

L’élève programme l’ordinateur et manipule les paramètres (variables). C’est lui qui peut, selon son imagination et les limites imposées par la situation, prévoir les résultats possibles en fonction des valeurs qu’il donne aux paramètres. Il peut émettre des hypothèses, les valider avec son modèle et en faire l’analyse.

Voici un exemple illustrant la différence entre (A) l’enseignement de l’algèbre et (B) une situation d’apprentissage intégrant la modélisation.

(A) Le calcul du montant de paiement mensuel d’une hypothèque se calcule par la formule suivante: 

Où PAY est le montant des mensualités, PR est le montant emprunté, IN est le taux d’intérêt (annuel/12) et PE est le nombre de mensualité (nombre d’années * 12). Quel est le montant maximal que vous pouvez emprunter (PR) si vous voulez payer 700$ par mois (PAY) pendant 20 ans et que le taux d’intérêt est de 5%?

(B) À l’aide d’un logiciel permettant une modélisation dynamique (Geogobra ou Excel par exemple), analysez différentes options de remboursement pour un prêt hypothécaire. (Faites varier le montant à emprunter, le taux d’intérêt et le nombre de mensualités). Comparez vos calculs en faisant des simulations sur des sites offrant un outils de calculs de mensualités. Pour aller plus loin, calculez le prix réel de la maison lorsque vous aurez remboursé la totalité de votre emprunt et comparez avec différentes options de durée et de taux.

Vous remarquerez que dans le deuxième exemple, on ne demande pas à l’élève de faire les calculs. En effet, modéliser c’est de créer un modèle permettant de comprendre une situation et de faire varier les paramètres afin de prédire des résultats possibles. Les calculs peuvent avantageusement être faits par l’ordinateur. À ce sujet, voyez l’excellente conférence de Conrad Wolfram. Selon lui, enseigner les mathématiques se résume à quatre points:

  1. Poser la bonne question
  2. Partir du monde réel vers la formulation mathématique
  3. Calculer
  4. Revenir au monde réel pour valider ou analyser les résultats

Parmi ces étapes, la troisième se fait facilement grâce aux ordinateurs. On peut alors demander aux élèves de résoudre des problèmes beaucoup plus complexes. Selon Conrad Wolfram, « le problème avec les mathématiques n’est pas que les ordinateurs simplifient les choses, mais que nous avons simplifié les problèmes. » Pour que les élèves fassent les calculs à la main, nous devons leur offrir des problèmes trop simples et déconnectés de la vie réelle.

À propos des modèles mathématiques, je me permets de citer ici une partie de l’éditorial de la renvue Pour la sciences de mai 2011 dont vous trouverez le texte intégral ici.

« Les modèles numériques sont de puissants outils. Ils permettent notamment de tester des hypothèses de façon beaucoup plus rapide et précise que ne le feraient des expériences. On peut évaluer sans limite les conséquences des variations imposées aux divers paramètres. Les modèles autorisent même parfois des prédictions sur des événements rares. Mais ce sont des outils au service de l’homme, qui ne remplacent pas l’homme, qui ne prévoient pas ce que l’homme n’aurait pas anticipé. Le modèle n’a aucune imagination. Pas plus en matière de sécurité nucléaire que d’évolution des turbulences, qu’elles soient physiques… ou sociales. »

Publicités

Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s